372. Точки А и В лежат на сфере с центром O. Докажите, что: а) если M — середина отрезка AB, то OM ⊥ AB; б) если OM ⊥ AB, то M — середина отрезка AB.

Решение:

а) Если M — середина отрезка AB, то OM ⊥ AB.

Рассмотрим треугольник AOB. OA и OB — радиусы сферы, поэтому OA = OB. Следовательно, треугольник AOB — равнобедренный. OM — медиана, проведённая к основанию AB (так как M — середина AB). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Значит, OM ⊥ AB.

б) Если OM ⊥ AB, то M — середина отрезка AB.

В равнобедренном треугольнике AOB (OA = OB) OM является высотой, проведённой к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Следовательно, M — середина AB.