36.31. Докажите, что значение выражения 999 \(\u\)0007 1001 \(\u\)0007 1002 + 1001 \(\u\)0007 1003 является кубом натурального числа.

Решение:

Пусть \( x = 1001 \). Тогда:

\( 999 = x - 2 \)

\( 1002 = x + 1 \)

\( 1003 = x + 2 \)

Подставим эти значения в выражение:

\[ (x - 2)(x)(x + 1) + x(x + 2) \]

Раскроем скобки:

\[ x(x - 2)(x + 1) + x^2 + 2x \]

Сначала раскроем \( (x - 2)(x + 1) \):

\[ (x - 2)(x + 1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2 \]

Теперь умножим на \( x \):

\[ x(x^2 - x - 2) = x^3 - x^2 - 2x \]

Подставим обратно в выражение:

\[ (x^3 - x^2 - 2x) + x^2 + 2x \]

Приведём подобные члены:

\[ x^3 - x^2 + x^2 - 2x + 2x = x^3 \]

Так как \( x = 1001 \), то значение выражения равно \( 1001^3 \).

\( 1001^3 \) является кубом натурального числа.

Ответ: Выражение равно \( 1001^3 \), что является кубом натурального числа.