36.27. Числа a, b и c таковы, что значения выражений a + b + c и al + bc + ac также являются целыми числами. Докажите, что значение выражения a² + b² + c² / a + b + c также является целым числом.

Решение:

Пусть \( S_1 = a + b + c \) и \( S_2 = ab + bc + ac \). По условию, \( S_1 \) и \( S_2 \) — целые числа.

Рассмотрим выражение \( (a + b + c)^2 \):

\[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac) \]

Подставим обозначения \( S_1 \) и \( S_2 \):

\[ S_1^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2S_2 \]

Выразим \( a^2 + b^2 + c^2 \):

\[ a^2 + b^2 + c^2 = S_1^2 - 2S_2 \]

Так как \( S_1 \) и \( S_2 \) — целые числа, то \( S_1^2 \) — целое число, и \( 2S_2 \) — целое число. Следовательно, \( S_1^2 - 2S_2 \) — целое число. Это означает, что \( a^2 + b^2 + c^2 \) является целым числом.

Теперь рассмотрим выражение, которое нужно доказать:

\[ \frac{a^2 + b^2 + c^2}{a + b + c} = \frac{S_1^2 - 2S_2}{S_1} \]

Мы можем разделить \( S_1^2 - 2S_2 \) на \( S_1 \):

\[ \frac{S_1^2 - 2S_2}{S_1} = \frac{S_1^2}{S_1} - \frac{2S_2}{S_1} = S_1 - \frac{2S_2}{S_1} \]

По условию, \( S_1 = a + b + c \) — целое число, и \( S_2 = ab + bc + ac \) — целое число.

Если \( S_1 \) не равно нулю, то для того чтобы \( \frac{a^2 + b^2 + c^2}{a + b + c} \) было целым числом, \( S_1 \) должно делить \( S_1^2 - 2S_2 \). Поскольку \( S_1 \) делит \( S_1^2 \), то \( S_1 \) должно делить \( 2S_2 \).

В условии задачи не сказано, что \( a+b+c \) не равно нулю. Если \( a+b+c = 0 \), то знаменатель равен нулю, и выражение не определено.

Однако, если предполагается, что \( a+b+c \) не равно нулю, и \( ab+bc+ac \) делится на \( a+b+c \), то \( \frac{a^2 + b^2 + c^2}{a + b + c} \) будет целым числом.

Доказано, что \( a^2 + b^2 + c^2 \) является целым числом. Если \( a+b+c \) не равно нулю, то для того чтобы \( \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c} \) было целым, необходимо, чтобы \( a+b+c \) делило \( 2(ab+bc+ac) \).