36.26. Докажите, что при любом натуральном значении n значение дроби является целым числом: 1) n^3 - 2n + 1 / n^2 + n - 1 2) n^3 - 4n - 3 / n^2 - n - 3

Решение:

1) \( \frac{n^3 - 2n + 1}{n^2 + n - 1} \)

Разделим числитель на знаменатель столбиком:

      n - 1
   ________
 n^2+n-1 | n^3 + 0n^2 - 2n + 1
       -(n^3 + n^2 - n)
       ________________
            -n^2 - n + 1
          -(-n^2 - n + 1)
          ______________
                   0

Таким образом, \( \frac{n^3 - 2n + 1}{n^2 + n - 1} = n - 1 \). Так как \( n \) — натуральное число, то \( n - 1 \) также является целым числом.

2) \( \frac{n^3 - 4n - 3}{n^2 - n - 3} \)

Разделим числитель на знаменатель столбиком:

      n + 1
   ________
 n^2-n-3 | n^3 + 0n^2 - 4n - 3
       -(n^3 - n^2 - 3n)
       ________________
             n^2 - n - 3
           -(n^2 - n - 3)
           ____________
                    0

Таким образом, \( \frac{n^3 - 4n - 3}{n^2 - n - 3} = n + 1 \). Так как \( n \) — натуральное число, то \( n + 1 \) также является целым числом.

Ответ: В обоих случаях значение дроби является целым числом.