36.24. Докажите, что при любом натуральном значении n значение дроби не является целым числом: 1) n^2 + n + 1 / n^2 + 1 2) n^3 - 2n^2 + n - 1 / n^2 - n - 1

Решение:

1) \( \frac{n^2 + n + 1}{n^2 + 1} \)

1. Разделим числитель на знаменатель: \( \frac{n^2 + 1 + n}{n^2 + 1} = \frac{n^2 + 1}{n^2 + 1} + \frac{n}{n^2 + 1} = 1 + \frac{n}{n^2 + 1} \).
2. Для того чтобы дробь \( \frac{n}{n^2 + 1} \) была целым числом, знаменатель \( n^2 + 1 \) должен делиться на \( n \).
3. Если \( n = 1 \), то \( \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2} \) (не целое).
4. Если \( n > 1 \), то \( n^2 + 1 > n \) (так как \( n^2 > n \) при \( n > 1 \)). Следовательно, \( \frac{n}{n^2 + 1} \) будет правильной дробью и не может быть целым числом, кроме случая, когда \( n = 0 \), но \( n \) — натуральное число.

2) \( \frac{n^3 - 2n^2 + n - 1}{n^2 - n - 1} \)

1. Разделим числитель на знаменатель столбиком или методом неопределённых коэффициентов.
2. \( n^3 - 2n^2 + n - 1 = n(n^2 - n - 1) - n^2 + 2n - 1 \)
3. \( -n^2 + 2n - 1 = -(n^2 - n - 1) + n - 2 \)
4. Таким образом, \( \frac{n^3 - 2n^2 + n - 1}{n^2 - n - 1} = n - 1 + \frac{n - 2}{n^2 - n - 1} \).
5. Для того чтобы дробь \( \frac{n - 2}{n^2 - n - 1} \) была целым числом, знаменатель \( n^2 - n - 1 \) должен делиться на \( n - 2 \).
6. Если \( n = 1 \), то \( \frac{1 - 2}{1^2 - 1 - 1} = \frac{-1}{-1} = 1 \) (целое).
7. Если \( n = 2 \), то \( \frac{2 - 2}{2^2 - 2 - 1} = \frac{0}{1} = 0 \) (целое).
8. При \( n > 2 \), \( n^2 - n - 1 > n - 2 \) (так как \( n^2 - 2n + 1 = (n-1)^2 > 0 \) при \( n > 1 \)). Следовательно, \( \frac{n - 2}{n^2 - n - 1} \) будет правильной дробью и не может быть целым числом.
9. Таким образом, для \( n=1 \) и \( n=2 \) дробь является целым числом. В условии задачи сказано, что \( n \) — натуральное число.

Ответ: Во втором случае дробь может быть целым числом при n = 1 и n = 2.