35. В остроугольном треугольнике АВС высота АН равна 8√6, а сторона АВ равна 20. Найдите cosB.

Дано:

• \[ \triangle ABC \text{ (остроугольный)} \]
• \[ AH \perp BC \text{, } H \text{ на } BC \]
• \[ AH = 8\sqrt{6} \text{, } AB = 20 \]

Найти:

• \[ \cos B \]

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем AH — катет, AB — гипотенуза.

По определению косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

• \[ \cos B = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \]

В треугольнике ABH прилежащий к углу B катет — это BH, а гипотенуза — AB.

Сначала найдем длину BH, используя теорему Пифагора для треугольника ABH:

1. \[ AH^2 + BH^2 = AB^2 \]
2. \[ (8\sqrt{6})^2 + BH^2 = 20^2 \]
3. \[ (64 \cdot 6) + BH^2 = 400 \]
4. \[ 384 + BH^2 = 400 \]
5. \[ BH^2 = 400 - 384 \]
6. \[ BH^2 = 16 \]
7. \[ BH = \sqrt{16} = 4 \]

Теперь найдем cosB:

• \[ \cos B = \frac{BH}{AB} \]
• \[ \cos B = \frac{4}{20} \]
• \[ \cos B = \frac{1}{5} \]

Ответ: 1/5