34. Катеты прямоугольного треугольника равны 2√21 и 4. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

Дано:

• \[ \triangle ABC \text{ (}\angle C=90^\circ) \text{, } a=4 \text{, } b=2\sqrt{21} \]

Найти:

• \[ \sin(\text{наименьшего угла}) \]

Решение:

1. Сначала найдем гипотенузу c по теореме Пифагора:
2. \[ c^2 = a^2 + b^2 \]
3. \[ c^2 = 4^2 + (2\sqrt{21})^2 \]
4. \[ c^2 = 16 + 4 \cdot 21 \]
5. \[ c^2 = 16 + 84 \]
6. \[ c^2 = 100 \]
7. \[ c = \sqrt{100} = 10 \]
8. В прямоугольном треугольнике наименьший угол лежит напротив наименьшего катета.
9. Сравним катеты:
10. \[ 4 \text{ и } 2\sqrt{21} \]
11. \[ 4^2 = 16 \]
12. \[ (2\sqrt{21})^2 = 4 \cdot 21 = 84 \]
13. Так как 16 < 84, то катет a=4 является наименьшим.
14. Наименьший угол — это угол A, противолежащий катету a.
15. По определению синуса:
16. \[ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \]
17. \[ \sin A = \frac{a}{c} \]
18. \[ \sin A = \frac{4}{10} \]
19. \[ \sin A = \frac{2}{5} \]

Ответ: 2/5