34.41*. Упростите выражение (a/b-1) - (a/a+b - 1)(b/a-b + 1)

Решение:

Упростим первое выражение в скобках:

\( \frac{a}{b} - 1 = \frac{a-b}{b} \).

Упростим второе выражение в скобках:

\( \frac{a}{a+b} - 1 = \frac{a - (a+b)}{a+b} = \frac{a - a - b}{a+b} = \frac{-b}{a+b} \).

Упростим третье выражение в скобках:

\( \frac{b}{a-b} + 1 = \frac{b + (a-b)}{a-b} = \frac{b + a - b}{a-b} = \frac{a}{a-b} \).

Теперь подставим упрощённые выражения обратно в исходное:

\( \frac{a-b}{b} - \left(\frac{-b}{a+b}\right) \cdot \left(\frac{a}{a-b}\right) \)

\( = \frac{a-b}{b} - \left(\frac{-ab}{(a+b)(a-b)}\right) \)

\( = \frac{a-b}{b} + \frac{ab}{(a+b)(a-b)} \)

Приведём к общему знаменателю \( b(a+b)(a-b) \):

\( = \frac{(a-b)(a+b)(a-b)}{b(a+b)(a-b)} + \frac{ab}{b(a+b)(a-b)} \)

\( = \frac{(a-b)^2(a+b) + ab}{b(a+b)(a-b)} \)

\( = \frac{(a^2 - 2ab + b^2)(a+b) + ab}{b(a^2-b^2)} \)

\( = \frac{a^3 + a^2b - 2a^2b - 2ab^2 + ab^2 + b^3 + ab}{b(a^2-b^2)} \)

\( = \frac{a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 + ab}{b(a^2-b^2)} \)

Ответ: \( \frac{a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 + ab}{b(a^2-b^2)} \).