34.39*. Упростите выражение a² - 2a + 5 4a - 4 - a-4b a²+2 · ( 3a² a²-4ab-a+4b - 2a+2 a-4b )

Решение:

Сначала упростим выражение в скобках.

Общий знаменатель для дробей в скобках: \( (a^2 - 4ab - a + 4b)(a-4b) \).

\( a^2 - 4ab - a + 4b = a(a-4b) - (a-4b) = (a-1)(a-4b) \).

Общий знаменатель: \( (a-1)(a-4b)^2 \).

\( \frac{3a^2}{(a-1)(a-4b)} - \frac{2a+2}{(a-4b)} \)

\( = \frac{3a^2 - (2a+2)(a-1)}{(a-1)(a-4b)} \)

\( = \frac{3a^2 - (2a^2 - 2a + 2a - 2)}{(a-1)(a-4b)} \)

\( = \frac{3a^2 - (2a^2 - 2)}{(a-1)(a-4b)} \)

\( = \frac{3a^2 - 2a^2 + 2}{(a-1)(a-4b)} = \frac{a^2 + 2}{(a-1)(a-4b)} \).

Теперь подставим это в исходное выражение:

\( \frac{a^2 - 2a + 5}{4(a-1)} - \frac{a-4b}{(a+2)} \cdot \frac{a^2 + 2}{(a-1)(a-4b)} \)

\( = \frac{a^2 - 2a + 5}{4(a-1)} - \frac{a-4b}{(a+2)} \cdot \frac{a^2 + 2}{(a-1)(a-4b)} \)

Заметим, что \( a-4b \) сокращается:

\( = \frac{a^2 - 2a + 5}{4(a-1)} - \frac{1}{(a+2)} \cdot \frac{a^2 + 2}{(a-1)} \)

\( = \frac{a^2 - 2a + 5}{4(a-1)} - \frac{a^2 + 2}{4(a-1)(a+2)} \)

Приведём к общему знаменателю \( 4(a-1)(a+2) \):

\( = \frac{(a^2 - 2a + 5)(a+2) - (a^2 + 2)}{4(a-1)(a+2)} \)

\( = \frac{a^3 + 2a^2 - 2a^2 - 4a + 5a + 10 - a^2 - 2}{4(a-1)(a+2)} \)

\( = \frac{a^3 - a^2 + a + 8}{4(a-1)(a+2)} \)

Ответ: \( \frac{a^3 - a^2 + a + 8}{4(a-1)(a+2)} \).