33. Вычислите: \( 2\frac{2}{3} + \int_0^1 2x^5 dx \)

Решение:

Сначала вычислим определённый интеграл:

\[ \int_0^1 2x^5 dx = 2 \int_0^1 x^5 dx \]

Используем формулу для интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

\[ 2 \left[ \frac{x^{5+1}}{5+1} \right]_0^1 = 2 \left[ \frac{x^6}{6} \right]_0^1 \]

Подставим пределы интегрирования:

\[ 2 \left( \frac{1^6}{6} - \frac{0^6}{6} \right) = 2 \left( \frac{1}{6} - 0 \right) = 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Теперь сложим результат с числом \( 2\frac{2}{3} \):

\[ 2\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 2 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \]

\[ 2 + \frac{2+1}{3} = 2 + \frac{3}{3} = 2 + 1 = 3 \]

Ответ: а) 3.