32. Найти мгновенную скорость точки, которая движется по закону \( s(t) = \frac{1}{3} t^3 + 4t + 1 \) (s-путь в метрах, t-время в секундах) через 3 секунды после начала движения. а) 12 м/с; б) 13 м/с; в) 14 м/с; г) 15 м/с.

Решение:

Мгновенная скорость точки находится как производная от функции пути по времени \( v(t) = s'(t) \).

Найдем производную функции \( s(t) = \frac{1}{3} t^3 + 4t + 1 \):

\[ s'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{3} t^3 + 4t + 1 \right) \]

\[ s'(t) = \frac{1}{3} \cdot 3t^2 + 4 + 0 \]

\[ s'(t) = t^2 + 4 \]

Теперь найдём скорость в момент времени \( t = 3 \) секунды:

\[ v(3) = s'(3) = (3)^2 + 4 \]

\[ v(3) = 9 + 4 \]

\[ v(3) = 13 \]

Скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

Ответ: б) 13 м/с.