№322 Вычислите: 1) 7!-5!; 2) \frac{24!}{20!*4!}; 3) A^5_7; 4) C^3_{10} * P_3; 5) C^{10}_{12} + C^{11}_{12}; 6) A^7_7 + A^4_4 + A^3_3

Объяснение:
Решим каждое выражение по порядку, используя формулы перестановок (P_n), размещений (A^k_n) и сочетаний (C^k_n), а также факториала (n!).

Решение:

1. 7! - 5!
   \[ 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \]
   \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]
   \[ 7! - 5! = 5040 - 120 = 4920 \]
2. \(\frac{24!}{20! \times 4!}\)
   Это число сочетаний C^4_{24}.
   \[ \frac{24!}{20! \times 4!} = \frac{24 \times 23 \times 22 \times 21}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{255024}{24} = 10626 \]
3. A^5_7
   Формула размещения: \( A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!} \)
   \[ A^5_7 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520 \]
4. C^3_{10} * P_3
   Сначала вычислим C^3_{10}: \( C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
   \[ C^3_{10} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120 \]
   Теперь вычислим P_3:
   \[ P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]
   Перемножим результаты:
   \[ C^3_{10} * P_3 = 120 \times 6 = 720 \]
5. C^{10}_{12} + C^{11}_{12}
   Используем свойство сочетаний \( C^k_n = C^{n-k}_n \) и \( C^k_n + C^{k+1}_n = C^{k+1}_{n+1} \).
   \( C^{10}_{12} = C^{12-10}_{12} = C^2_{12} \)
   \( C^{11}_{12} = C^{12-11}_{12} = C^1_{12} \)
   \( C^2_{12} = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66 \]
   \( C^1_{12} = \frac{12!}{1!(12-1)!} = \frac{12!}{1!11!} = 12 \]
   \[ C^{10}_{12} + C^{11}_{12} = 66 + 12 = 78 \]
   Также можно использовать свойство \( C^k_n + C^{k+1}_n = C^{k+1}_{n+1} \), но здесь k и k+1 относятся к одному n. Используя тождество \( C^k_n + C^{k-1}_n = C^k_{n+1} \) или \( C^k_n = C^{n-k}_n \), получаем: \( C^{10}_{12} = C^2_{12} = 66 \), \( C^{11}_{12} = C^1_{12} = 12 \). Сумма = 78.
   Используя свойство \( C^k_n + C^{k+1}_n \) не напрямую, а через \( C^k_n = C^{n-k}_n \): \( C^{10}_{12} = C^2_{12} \) и \( C^{11}_{12} = C^1_{12} \). Тогда \( C^{10}_{12} + C^{11}_{12} = C^2_{12} + C^1_{12} \). Это не является стандартным тождеством для прямой суммы. Однако, при вычислении: \( C^{10}_{12} = 66 \) и \( C^{11}_{12} = 12 \), сумма равна 78.
6. A^7_7 + A^4_4 + A^3_3
   A^n_n = n! (так как это перестановки n элементов)
   \[ A^7_7 = 7! = 5040 \]
   \[ A^4_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]
   \[ A^3_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]
   \[ A^7_7 + A^4_4 + A^3_3 = 5040 + 24 + 6 = 5070 \]

Ответ: 1) 4920; 2) 10626; 3) 2520; 4) 720; 5) 78; 6) 5070