31. На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=2, BH=8. Найдите CH.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, CH — высота, проведенная к гипотенузе.

По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе, квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу.

\( CH^2 = AH \cdot BH \)

Подставим известные значения:

\( CH^2 = 2 \cdot 8 \)

\( CH^2 = 16 \)

Извлечем квадратный корень:

\( CH = \sqrt{16} \)

\( CH = 4 \)

Ответ: CH = 4.