28. В треугольнике АВС отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 71. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.

Решение:

M — середина BC, N — середина AC. Следовательно, MN — средняя линия треугольника ABC.

Средняя линия MN параллельна стороне AB и равна половине AB: \( MN = \frac{1}{2} AB \).

Треугольник CNM подобен треугольнику CAB. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

\( \frac{S_{CNM}}{S_{CAB}} = (\frac{CN}{CA})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \)

Площадь треугольника CNM равна 71.

\( \frac{71}{S_{CAB}} = \frac{1}{4} \)

\( S_{CAB} = 71 \cdot 4 = 284 \)

Площадь четырёхугольника ABMN равна разности площади треугольника ABC и площади треугольника CNM:

\( S_{ABMN} = S_{CAB} - S_{CNM} \)

\( S_{ABMN} = 284 - 71 \)

\( S_{ABMN} = 213 \)

Ответ: Площадь четырёхугольника ABMN равна 213.