№3. Вычислите: a) $$\frac{4^{12} \cdot 4^{20}}{4^{29}}$$ a) $$\frac{32 \cdot 2^6}{4^4}$$

Пошаговое решение:

1. Вычисление а):
   1. Используем свойство степеней $$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$: $$ \frac{4^{12+20}}{4^{29}} = \frac{4^{32}}{4^{29}} $$.
   2. Используем свойство степеней $$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$: $$ 4^{32-29} = 4^3 $$.
   3. Вычисляем результат: $$ 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 $$.
2. Вычисление б):
   1. Представим 32 как степень 2: $$ 32 = 2^5 $$.
   2. Подставим в дробь: $$ \frac{2^5 \cdot 2^6}{4^4} $$.
   3. Используем свойство степеней $$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$ в числителе: $$ \frac{2^{5+6}}{4^4} = \frac{2^{11}}{4^4} $$.
   4. Представим 4 как степень 2: $$ 4 = 2^2 $$.
   5. Подставим в знаменатель: $$ \frac{2^{11}}{(2^2)^4} $$.
   6. Используем свойство степеней $$ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $$: $$ \frac{2^{11}}{2^{2 \cdot 4}} = \frac{2^{11}}{2^8} $$.
   7. Используем свойство степеней $$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$: $$ 2^{11-8} = 2^3 $$.
   8. Вычисляем результат: $$ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $$.

Ответ: а) 64; б) 8