3. В окружности с центром О провели диаметры MN и PK (рис. 281). Докажите, что MK || PN.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассматриваем центральные углы. Так как MN и PK — диаметры, они проходят через центр O. Углы ∠MOK и ∠PON являются вертикальными, поэтому ∠MOK = ∠PON.
2. Шаг 2: Рассматриваем дуги. Равные центральные углы опираются на равные дуги. Следовательно, дуга MK равна дуге PN.
3. Шаг 3: Связываем равенство дуг с хордами. Равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, хорда MK равна хорде PN.
4. Шаг 4: Используем свойства равнобедренной трапеции или параллельных хорд. Рассмотрим четырехугольник MPNK. Диагонали MN и PK являются диаметрами окружности. Углы ∠MPO и ∠NKO являются вписанными, опирающимися на диаметр, следовательно, они прямые. Также, углы ∠KMP и ∠KNP опираются на диаметр KP, поэтому они прямые.
5. Шаг 5: Доказываем параллельность. Так как дуга MK = дуга PN, то и дуга MP = дуга KN (так как MN и PK — диаметры, а значит, дуга MN = дуга PK = 180°). Равные дуги MP и KN стягиваются хордами MP и KN.
6. Шаг 6: Рассматриваем треугольники. Треугольники ΔMOK и ΔPON равны по двум сторонам (радиусы OM=OP=OK=ON) и углу между ними (∠MOK = ∠PON как вертикальные). Следовательно, MK = PN.
7. Шаг 7: Доказываем параллельность MK || PN. Рассмотрим треугольники ΔMOP и ΔKON. Они равны по двум сторонам (радиусы) и углу между ними (∠MOP = ∠KON как вертикальные). Следовательно, MP = KN.
8. Шаг 8: Анализируем четырехугольник MPNK. Мы имеем MK = PN и MP = KN. Это означает, что четырехугольник MPNK является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны параллельны. Следовательно, MK || PN.
9. Альтернативное доказательство: Так как ∠MOK = ∠PON (вертикальные углы), то дуга MK = дуга PN. Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Например, вписанный угол ∠MPK опирается на дугу MK, а вписанный угол ∠PNM опирается на дугу PN. Следовательно, ∠MPK = ∠PNM. Эти углы являются накрест лежащими при прямых MK и PN и секущей MN. Так как накрест лежащие углы равны, то MK || PN.