3. Угол между биссектрисой ВК и катетом АС прямоугольного треугольника АBC (∠C= 90°) равен 57°. Найти острые углы треугольника АВС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (\( \angle C = 90^\circ \)) биссектриса BK делит угол \( \angle B \) пополам.

Рассмотрим треугольник BKC. \( \angle C = 90^\circ \). Угол \( \angle BKC = 57^\circ \).

Сумма углов в треугольнике BKC:

\[ \angle KBC + \angle BCK + \angle BKC = 180^\circ \]\[ \angle KBC + 90^\circ + 57^\circ = 180^\circ \]\[ \angle KBC = 180^\circ - 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ \]

Так как BK — биссектриса, то \( \angle B = 2 \cdot \angle KBC \).

\[ \angle B = 2 \cdot 33^\circ = 66^\circ \]

Найдем второй острый угол \( \angle A \) в прямоугольном треугольнике ABC:

\[ \angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ \]

Ответ: ∠B = 66°, ∠A = 24°.