3. Покажите, что периодическая дробь 1,2(9) равна конечной десятичной дроби.

Решение:

Запишем периодическую дробь \( 1,2(9) \) как обыкновенную.

1. Пусть \( x = 1,2(9) \).
2. Умножим на 10, чтобы избавиться от непериодической части: \( 10x = 12,(9) \).
3. Умножим на 10, чтобы сдвинуть период: \( 100x = 129,(9) \).
4. Вычтем первое уравнение из второго: \( 100x - 10x = 129,(9) - 12,(9) \) → \( 90x = 117 \) → \( x = \frac{117}{90} \).
5. Сократим дробь: \( \frac{117}{90} = \frac{13 \times 9}{10 \times 9} = \frac{13}{10} \).
6. Переведем в десятичную дробь: \( \frac{13}{10} = 1,3 \).

Таким образом, периодическая дробь \( 1,2(9) \) равна конечной десятичной дроби \( 1,3 \).

Ответ: \( 1,2(9) = 1,3 \).