2. Покажите, как можно записать в виде обыкновенной дроби периодическую десятичную дробь: a) 0,(97); б) 0,(157); в) 0,3(97).

Решение:

а) \( 0,(97) \)

1. Пусть \( x = 0,(97) \).
2. Умножим обе части на 100 (период из двух цифр): \( 100x = 97,(97) \).
3. Вычтем первое уравнение из второго: \( 100x - x = 97,(97) - 0,(97) \) → \( 99x = 97 \) → \( x = \frac{97}{99} \).

б) \( 0,(157) \)

1. Пусть \( x = 0,(157) \).
2. Умножим обе части на 1000 (период из трех цифр): \( 1000x = 157,(157) \).
3. Вычтем первое уравнение из второго: \( 1000x - x = 157,(157) - 0,(157) \) → \( 999x = 157 \) → \( x = \frac{157}{999} \).

в) \( 0,3(97) \)

1. Пусть \( x = 0,3(97) \).
2. Умножим на 10, чтобы избавиться от непериодической части: \( 10x = 3,(97) \).
3. Умножим на 100, чтобы сдвинуть период: \( 1000x = 397,(97) \).
4. Вычтем из второго уравнения первое: \( 1000x - 10x = 397,(97) - 3,(97) \) → \( 990x = 394 \) → \( x = \frac{394}{990} \).
5. Сократим дробь: \( \frac{394}{990} = \frac{197}{495} \).

Ответ: а) \( \frac{97}{99} \); б) \( \frac{157}{999} \); в) \( \frac{197}{495} \).