3. Найдите значение выражения \( a^{12} \cdot (a^{-4})^4 \) при \( a = -\frac{1}{2} \).

Решение:

1. Упростим выражение, используя свойства степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
2. Сначала раскроем скобки: \( (a^{-4})^4 = a^{-4 \cdot 4} = a^{-16} \).
3. Теперь перемножим степени: \( a^{12} \cdot a^{-16} = a^{12 + (-16)} = a^{12 - 16} = a^{-4} \).
4. Таким образом, упрощенное выражение равно \( a^{-4} \), что можно записать как \( \frac{1}{a^4} \).
5. Подставим значение \( a = -\frac{1}{2} \): \[ \frac{1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^4} \]
6. Вычислим \( \left(-\frac{1}{2}\right)^4 \): \( \left(-\frac{1}{2}\right)^4 = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{16} \).
7. Теперь подставим это значение обратно: \[ \frac{1}{\frac{1}{16}} = 1 \cdot \frac{16}{1} = 16 \]

Ответ: 16.