3) Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см.

Решение:

В правильном шестиугольнике сторона a = 10 см. Радиус вписанной окружности (апофема) r находится по формуле:

\[ r = \frac{a}{2\tan(180°/n)} \]

где n — число сторон шестиугольника, то есть n = 6.

\[ r = \frac{10}{2\tan(180°/6)} \]\[ r = \frac{10}{2\tan(30°)} \]\[ r = \frac{10}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \]\[ r = \frac{10\sqrt{3}}{2} \]\[ r = 5\sqrt{3} \text{ см} \]

Площадь вписанного круга находится по формуле:

\[ S = \pi r^2 \]\[ S = \pi (5\sqrt{3})^2 \]\[ S = \pi (25 \cdot 3) \]\[ S = 75\pi \text{ см}^2 \]

Ответ: площадь круга равна 75\(\pi\) \(\text{ см}\)^2.