1) Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними – 120°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Решение:

Для нахождения третьей стороны треугольника используем теорему косинусов. Пусть стороны треугольника равны a = 10 см, b = 12 см, а угол между ними γ = 120°.

Третья сторона c находится по формуле:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \]\[ c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cos 120° \]\[ c^2 = 100 + 144 - 240 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]\[ c^2 = 244 + 120 \]\[ c^2 = 364 \]\[ c = \sqrt{364} = \sqrt{4 \cdot 91} = 2\sqrt{91} \text{ см} \]

Площадь треугольника находится по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \]\[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \sin 120° \]\[ S = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]\[ S = 30\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ: третья сторона равна 2\(\sqrt{91}\) \(\text{ см}\), площадь треугольника равна 30\(\sqrt{3}\) \(\text{ см}\)^2.