3. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 40 и 64; 2) 162 и 270.

Краткое пояснение:

Наибольший общий делитель (НОД) — это самое большое число, на которое делятся оба заданных числа без остатка. Для нахождения НОД можно использовать разложение чисел на простые множители.

Пошаговое решение:

1. 1) НОД(40, 64):
   • Разложим 40 на простые множители: \( 40 = 2 \cdot 20 = 2 \cdot 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5 \)
   • Разложим 64 на простые множители: \( 64 = 2 \cdot 32 = 2 \cdot 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6 \)
   • Чтобы найти НОД, выберем общие простые множители с наименьшей степенью. Общий множитель здесь — 2. Наименьшая степень — 3.
   • НОД(40, 64) = \( 2^3 = 8 \)
2. 2) НОД(162, 270):
   • Разложим 162 на простые множители: \( 162 = 2 \cdot 81 = 2 \cdot 9 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^4 \)
   • Разложим 270 на простые множители: \( 270 = 10 \cdot 27 = 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 9 = 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 \)
   • Общие простые множители: 2 и 3. Наименьшая степень для 2 — первая, для 3 — третья.
   • НОД(162, 270) = \( 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54 \)

Ответ:

• 1) НОД(40, 64) = 8
• 2) НОД(162, 270) = 54