3) На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 170.

Решение:

Последнее звено «змейки» имеет длину 170. Это означает, что в «змейке» 170 звеньев. Длина всей ломаной будет равна сумме длин этих звеньев, то есть сумме первых 170 натуральных чисел.

Используем формулу суммы первых n натуральных чисел: \( S_n = \frac{n(n+1)}{2} \).

Подставляем \( n = 170 \):

\[ S_{170} = \frac{170(170+1)}{2} = \frac{170 × 171}{2} = 85 × 171 = 14535 \]

Ответ: 14535.