3. Колебательный контур состоит из конденсатора 25 нФ и катушки индуктивностью 1,015 Гн. Обкладки конденсатора имеют заряд 2, 5мкКл. Напишите уравнения зависимости q(t), i(t) и u(t).

Решение:

Для нахождения уравнений зависимостей \( q(t) \), \( i(t) \) и \( u(t) \) нам нужно знать начальную фазу колебаний, которая зависит от того, в какой момент времени мы начинаем отсчет. Предположим, что в начальный момент времени \( t = 0 \) заряд конденсатора максимален (\( q_0 = 5 \text{ мкКл} \)).

1. Найдем циклическую частоту колебаний: \( \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \).
2. \( L = 1.015 \text{ Гн} \), \( C = 25 \text{ нФ} = 25 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} \).
3. \( \omega = \frac{1}{\sqrt{1.015 \cdot 25 \cdot 10^{-9}}} \approx \frac{1}{\sqrt{25.375 \cdot 10^{-9}}} \approx \frac{1}{5.037 \cdot 10^{-4.5}} \approx \frac{1}{159.4 \cdot 10^{-6}} \approx 6273 \text{ рад/с} \).
4. Уравнение заряда: \( q(t) = q_0 s(\omega t + \varphi) \). Если \( q(0) = q_0 \), то \( \varphi = 0 \).
5. \( q(t) = 5 \cdot 10^{-6} \cos(6273 t) \text{ Кл} \).
6. Уравнение силы тока: \( i(t) = q'(t) = -q_0 \omega in(\omega t + \varphi) \).
7. \( i(t) = -5 \cdot 10^{-6} s 6273 \sin(6273 t) \text{ А} \).
8. Уравнение напряжения: \( u(t) = \frac{q(t)}{C} \).
9. \( u(t) = \frac{5 \cdot 10^{-6} \cos(6273 t)}{25 \cdot 10^{-9}} = 200 \cos(6273 t) \text{ В} \).

Ответ: \( q(t) = 5 \cdot 10^{-6} s(6273 t) \text{ Кл} \), \( i(t) = -0.03135 in(6273 t) \text{ А} \), \( u(t) = 200 s(6273 t) \text{ В} \).