3. (16) Решите систему уравнений: { x - y = 2; xy = 15 }

Решение:

Решим систему уравнений методом подстановки.

1. Выразим \( x \) из первого уравнения:

\[ x = y + 2 \]

2. Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ (y + 2)y = 15 \]

3. Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду квадратного:

\[ y^2 + 2y = 15 \]

\[ y^2 + 2y - 15 = 0 \]

4. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \]

5. Найдём значения \( y \):

\[ y_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ y_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

6. Теперь найдём соответствующие значения \( x \), подставляя \( y \) в выражение \( x = y + 2 \):

Для \( y_1 = 3 \): \( x_1 = 3 + 2 = 5 \).

Для \( y_2 = -5 \): \( x_2 = -5 + 2 = -3 \).

Ответ: \( (5; 3); (-3; -5) \).