25. Углы при одном из оснований трапеции равны 77° и 13°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.

Решение:

Пусть трапеция ABCD, основания AB и CD, где AB || CD. Углы при основании CD равны \( \angle C = 77^{\circ} \) и \( \angle D = 13^{\circ} \).

Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°. Проверим углы при основании AD: \( \angle A = 180^{\circ} - 13^{\circ} = 167^{\circ} \) и \( \angle B = 180^{\circ} - 77^{\circ} = 103^{\circ} \).

Пусть M, N, P, Q — середины сторон AB, BC, CD, AD соответственно.

Отрезок MN — средняя линия трапеции. Длина средней линии равна полусумме оснований: \( MN = \frac{AB + CD}{2} \).

Отрезок PQ соединяет середины боковых сторон. Его длина равна полуразности оснований: \( PQ = \frac{|CD - AB|}{2} \).

По условию, длины этих отрезков равны 11 и 10. Рассмотрим два случая:

Случай 1: Средняя линия MN = 11, а PQ = 10.

1. \( \frac{AB + CD}{2} = 11 \) => \( AB + CD = 22 \).
2. \( \frac{|CD - AB|}{2} = 10 \) => \( |CD - AB| = 20 \).
3. Так как \( \angle C = 77^{\circ} \) и \( \angle D = 13^{\circ} \) — это острые углы, они принадлежат основанию, которое короче. Следовательно, CD < AB.
4. Тогда \( AB - CD = 20 \).
5. Решим систему уравнений:

\( AB + CD = 22 \)

\( AB - CD = 20 \)

Сложим уравнения: \( 2AB = 42 \) => \( AB = 21 \).

Подставим AB в первое уравнение: \( 21 + CD = 22 \) => \( CD = 1 \).

Случай 2: Средняя линия MN = 10, а PQ = 11.

1. \( \frac{AB + CD}{2} = 10 \) => \( AB + CD = 20 \).
2. \( \frac{|CD - AB|}{2} = 11 \) => \( |CD - AB| = 22 \).
3. Так как CD < AB, то \( AB - CD = 22 \).
4. Решим систему уравнений:

\( AB + CD = 20 \)

\( AB - CD = 22 \)

Сложим уравнения: \( 2AB = 42 \) => \( AB = 21 \).

Подставим AB в первое уравнение: \( 21 + CD = 20 \) => \( CD = -1 \). Длина не может быть отрицательной, поэтому этот случай невозможен.

Ответ: Основания трапеции равны 21 и 1.