25. Площадь треугольника АВС равна 80. Биссектриса AD пересекает медиану ВК в точке Е, при этом BD: CD = 1 : Найдите площадь четырехугольника EDCK.

По теореме о биссектрисе, AB/AC = BD/CD = 1/1, следовательно AB = AC, треугольник ABC равнобедренный. Медиана BK делит AC пополам. Площадь треугольника ABD = Площадь треугольника ACD = 80/2 = 40. По теореме о медиане в треугольнике ABE и CBE имеют равные площади, так как имеют одинаковую высоту из B и равные основания AE и EC. Площадь треугольника ABK = Площадь треугольника CBK = 40. Площадь треугольника ADE = Площадь треугольника CDE. Площадь треугольника ABЕ / Площадь треугольника CBE = AE / EC. Площадь треугольника ABD = 40. Площадь треугольника ABЕ / Площадь треугольника EBD = AE / ED. Площадь треугольника ABC = 80. BD:CD = 1:1. Значит, D - середина BC. AD - медиана. Площадь треугольника ABD = Площадь треугольника ACD = 40. BK - медиана. Площадь треугольника ABK = Площадь треугольника CBK = 40. Точка E - точка пересечения медиан (центроид). Площадь треугольника ABЕ = Площадь треугольника BDE = Площадь треугольника CDE = Площадь треугольника ACE = 80/4 = 20. Площадь четырехугольника EDCK = Площадь треугольника CDE + Площадь треугольника CEK. Так как K - середина AC, EK - медиана треугольника AEC. Площадь треугольника CEK = Площадь треугольника AEK = 20/2 = 10. Площадь четырехугольника EDCK = 20 + 10 = 30.