24. Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

Обозначим через \(MN\) отрезок, соединяющий середины оснований. В четырёхугольник можно вписать окружность только если суммы длин противоположных сторон равны.

Для трапеции \(ABNM\): \(AB+MN=BM+NA\).

Для трапеции \(MNCD\): \(MN+CD=MC+ND\).

Так как \(M\) и \(N\) — середины оснований, то \(BM=MC\) и \(NA=ND\). Поэтому правые части двух равенств равны. Вычтя из равенств общие слагаемые, получаем \(AB=CD\).

В трапеции равенство боковых сторон означает, что она равнобедренная. Следовательно, \(ABCD\) — равнобедренная трапеция.