Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 24. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 12,5 и 18, диагональ AC равна 15. Докажите, что треугольники ABC и…Фото задания

Ответ:

Краткое пояснение:

Чтобы доказать подобие треугольников ABC и DCA, нам необходимо показать, что у них есть либо два равных угла (признак подобия по двум углам), либо пропорциональны две стороны и равны углы между ними (признак подобия по двум сторонам и углу между ними).

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Определим, какие элементы треугольников ABC и DCA нам известны.
    Дано: трапеция ABCD, BC || AD (по определению трапеции).
    BC = 12.5, AD = 18, AC = 15.
  2. Шаг 2: Рассмотрим углы между сторонами.
    В трапеции ABCD основания BC и AD параллельны. Диагональ AC является секущей для этих параллельных прямых.
    Следовательно, накрест лежащие углы равны: \( ∠BCA = ∠CAD \) (как накрест лежащие при BC || AD и секущей AC).
  3. Шаг 3: Теперь нам нужно найти еще одно условие подобия. Рассмотрим соотношение сторон.
    Сторона BC относится к стороне AD как:
    \( \frac{BC}{AD} = \frac{12.5}{18} = \frac{125}{180} = \frac{25}{36} \).
    Сторона AC относится к стороне AB. Нам неизвестна длина AB.
    Однако, можно рассмотреть отношение сторон, которые прилегают к найденным равным углам.
  4. Шаг 4: Рассмотрим соотношение сторон, прилегающих к углу \( ∠BCA \) в треугольнике ABC и к углу \( ∠CAD \) в треугольнике DCA.
    В треугольнике ABC: сторона BC и сторона AC.
    В треугольнике DCA: сторона AD и сторона AC.
    Сравним соотношения:
    \( \frac{BC}{AC} = \frac{12.5}{15} = \frac{125}{150} = \frac{5}{6} \)
    \( \frac{AC}{AD} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6} \).
  5. Шаг 5: Мы видим, что \( \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{AD} = \frac{5}{6} \).
    Таким образом, у нас есть пропорциональные стороны \( BC \) и \( AC \) в треугольнике ABC, и стороны \( AC \) и \( AD \) в треугольнике DCA, и угол между ними \( ∠BCA = ∠CAD \).
  6. Шаг 6: По второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники ABC и DCA подобны.

    Важно: В задании указано, что основания BC и AD, а также диагональ AC. Для подобия треугольников ABC и DCA, нужно сравнивать стороны, прилежащие к углу \( ∠BCA \) (в треугольнике ABC это BC и AC) и стороны, прилежащие к углу \( ∠CAD \) (в треугольнике DCA это AD и AC).


    Доказательство:
    В трапеции ABCD, BC || AD.
    Диагональ AC является секущей.
    Следовательно, \( ∠BCA = ∠CAD \) (как накрест лежащие углы).
    Рассмотрим отношение сторон:
    \( \frac{BC}{AC} = \frac{12.5}{15} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} \).
    \( \frac{AC}{AD} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6} \).
    Так как \( \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{AD} \) и \( ∠BCA = ∠CAD \), то по второму признаку подобия треугольники ABC и DCA подобны.

Доказано.