22. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком одну или две общие точки.

Краткое пояснение:

Для построения графика необходимо проанализировать каждую ветвь функции отдельно, учитывая условие на \( x \). Затем, провести горизонтальные линии \( y=m \) и определить, при каких значениях \( m \) они пересекают график в одной или двух точках.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассматриваем первую ветвь функции: \( y = x^2 + 2x + 1 \) при \( x ≥ -4 \).
   Это парабола, вершина которой находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(1)} = -1 \).
   Значение \( y \) в вершине: \( y = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 \).
   Таким образом, вершина параболы — \( (-1, 0) \).
   При \( x = -4 \), \( y = (-4)^2 + 2(-4) + 1 = 16 - 8 + 1 = 9 \). Точка \( (-4, 9) \) принадлежит графику.
   Ветвь параболы открывается вверх.
2. Шаг 2: Рассматриваем вторую ветвь функции: \( y = -\frac{36}{x} \) при \( x < -4 \).
   Это гипербола.
   При \( x = -4 \), значение \( y \) будет \( y = -\frac{36}{-4} = 9 \). Точка \( (-4, 9) \) является стыковой для обеих ветвей.
   При \( x → -∞ \), \( y → 0 \).
   При \( x → -4 \) (слева), \( y → 9 \).
3. Шаг 3: Построим график, соединив полученные точки и учитывая характер функций.
   Первая ветвь — часть параболы от \( (-4, 9) \) через вершину \( (-1, 0) \) и далее вверх.
   Вторая ветвь — часть гиперболы, которая приближается к \( y=0 \) при \( x → -∞ \) и идет к точке \( (-4, 9) \).
4. Шаг 4: Проведем горизонтальные линии \( y=m \) и определим количество точек пересечения.
   Если \( m > 9 \), прямая \( y=m \) пересекает график в двух точках (одну на параболе, одну на гиперболе).
   Если \( m = 9 \), прямая \( y=m \) касается графика в точке \( (-4, 9) \) и пересекает параболу еще в одной точке \( (-2, 4) \) (так как \( y = (-2)^2 + 2(-2) + 1 = 4 - 4 + 1 = 1 \) - ошибка в расчете, проверим \( y = x^2+2x+1 \) при \( m=9 \): \( 9 = x^2+2x+1 \rightarrow x^2+2x-8=0 \rightarrow (x+4)(x-2)=0 \rightarrow x=2 \). Точка \( (2, 9) \) и \( (-4, 9) \)).
   Значит, при \( m=9 \) есть две точки пересечения: \( (-4, 9) \) и \( (2, 9) \).
5. Шаг 5: Рассмотрим случай \( 0 < m < 9 \). Прямая \( y=m \) пересекает график в двух точках (обе на параболе).
6. Шаг 6: Рассмотрим случай \( m = 0 \). Прямая \( y=m \) касается графика в вершине параболы \( (-1, 0) \) — одна точка пересечения.
7. Шаг 7: Рассмотрим случай \( m < 0 \). Прямая \( y=m \) не пересекает график.

Ответ:

• Одна общая точка: \( m=0 \).
• Две общие точки: \( m > 9 \) или \( 0 < m < 9 \) или \( m=9 \). Объединяя: \( m > 0 \).

В итоге, одна общая точка при \( m=0 \). Две общие точки при \( m>0 \).