11. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 23 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него.

Краткая запись:

• Расстояние (S): 80 км
• Скорость течения (v_теч): 5 км/ч
• Время стоянки: 23 часа
• Общее время в пути (туда и обратно, кроме стоянки): 35 - 23 = 12 часов
• Найти: Скорость теплохода в неподвижной воде (v_тепл) — ?

Краткое пояснение:

Для решения задачи нам нужно составить уравнение, основанное на сумме времени движения по течению и против течения, приравняв ее к общему времени в пути (без учета стоянки). Скорость по течению равна сумме скорости теплохода и скорости течения, а скорость против течения — разности скорости теплохода и скорости течения.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим время, затраченное непосредственно на движение. Общее время 35 часов, из них 23 часа — стоянка. Значит, на движение ушло:
   \( 35 - 23 = 12 \) часов.
2. Шаг 2: Обозначим скорость теплохода в неподвижной воде как \( x \) км/ч.
3. Шаг 3: Найдем скорость теплохода по течению:
   \( v_{по теч} = x + v_{теч} = x + 5 \) км/ч.
4. Шаг 4: Найдем скорость теплохода против течения:
   \( v_{против теч} = x - v_{теч} = x - 5 \) км/ч.
5. Шаг 5: Выразим время движения по течению:
   \( t_{по теч} = \frac{S}{v_{по теч}} = \frac{80}{x+5} \) часов.
6. Шаг 6: Выразим время движения против течения:
   \( t_{против теч} = \frac{S}{v_{против теч}} = \frac{80}{x-5} \) часов.
7. Шаг 7: Составим уравнение, приравняв сумму времен движения к общему времени в пути:
   \( t_{по теч} + t_{против теч} = 12 \)
   \( \frac{80}{x+5} + \frac{80}{x-5} = 12 \)
8. Шаг 8: Решим полученное уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю \( (x+5)(x-5) \):
   \( \frac{80(x-5) + 80(x+5)}{(x+5)(x-5)} = 12 \)
   \( \frac{80x - 400 + 80x + 400}{x^2 - 25} = 12 \)
   \( \frac{160x}{x^2 - 25} = 12 \)
9. Шаг 9: Умножим обе части на \( x^2 - 25 \) (при условии \( x > 5 \), так как скорость не может быть отрицательной и теплоход движется против течения):
   \( 160x = 12(x^2 - 25) \)
   \( 160x = 12x^2 - 300 \)
10. Шаг 10: Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:
    \( 12x^2 - 160x - 300 = 0 \)
11. Шаг 11: Разделим все члены на 4 для упрощения:
    \( 3x^2 - 40x - 75 = 0 \)
12. Шаг 12: Найдем дискриминант:
    \( D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4(3)(-75) = 1600 + 900 = 2500 \)
13. Шаг 13: Найдем корни уравнения:
    \( x = \frac{-b ± √{D}}{2a} = \frac{40 ± √{2500}}{2(3)} = \frac{40 ± 50}{6} \)
14. Шаг 14: Вычислим два возможных значения \( x \):
    \( x_1 = \frac{40 + 50}{6} = \frac{90}{6} = 15 \)
    \( x_2 = \frac{40 - 50}{6} = \frac{-10}{6} = -5/3 \)
15. Шаг 15: Выберем подходящий корень. Скорость теплохода в неподвижной воде не может быть отрицательной, поэтому \( x = 15 \) км/ч. Также это значение больше скорости течения (5 км/ч), что необходимо для движения против течения.

Ответ: 15 км/ч.