24. Окружности с центрами в точках К и L пересекаются в точках М и N, причём точки К и L лежат по одну сторону от прямой MN. Докажите, что прямые KL и MN перпендикулярны.

Доказательство:

Пусть \( K \) и \( L \) — центры двух окружностей, пересекающихся в точках \( M \) и \( N \).

1. Соединим точки \( M \) и \( N \) отрезком \( MN \).
2. Рассмотрим \( \triangle KMN \). Стороны \( KM \) и \( KN \) являются радиусами первой окружности, поэтому \( KM = KN \). Следовательно, \( \triangle KMN \) — равнобедренный.
3. В равнобедренном треугольнике \( \triangle KMN \) отрезок \( KL \) (или его продолжение) будет высотой и медианой к основанию \( MN \), если \( L \) лежит на \( KN \) или \( KM \), что не всегда так. Правильнее рассмотреть симметрию.
4. Отрезок \( KL \) соединяет центры окружностей.
5. Прямая \( MN \) — линия пересечения двух окружностей.
6. Отрезок \( KL \) является осью симметрии для системы из двух окружностей.
7. Точки \( M \) и \( N \) симметричны относительно прямой \( KL \), так как \( KM = KN \) (радиусы первой окружности) и \( LM = LN \) (радиусы второй окружности).
8. Любая точка, равноудаленная от \( M \) и \( N \), лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \( MN \).
9. Центры \( K \) и \( L \) обе равноудалены от \( M \) и \( N \) ( \( KM=KN \) и \( LM=LN \) ).
10. Значит, \( K \) и \( L \) лежат на серединном перпендикуляре к \( MN \).
11. Следовательно, прямая \( KL \) является серединным перпендикуляром к отрезку \( MN \).
12. По определению серединного перпендикуляра, прямая \( KL \) перпендикулярна отрезку \( MN \).

Что и требовалось доказать.