21. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 288 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 28 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 31 час после отплытия из него.

Решение:

Пусть \( v_t \) — скорость течения реки (км/ч). Скорость теплохода по течению \( v_{t} = 28 + v_t \) км/ч. Скорость теплохода против течения \( v_{pr} = 28 - v_t \) км/ч.

Время в пути по течению: \( t_{t} = \frac{288}{28 + v_t} \) ч.

Время в пути против течения: \( t_{pr} = \frac{288}{28 - v_t} \) ч.

Общее время в пути (без учёта стоянки): \( 31 - 10 = 21 \) ч.

Сумма времён движения:

\[ t_{t} + t_{pr} = 21 \]

\[ \frac{288}{28 + v_t} + \frac{288}{28 - v_t} = 21 \]

Умножим обе части на \( (28 + v_t)(28 - v_t) = 28^2 - v_t^2 \):

\[ 288(28 - v_t) + 288(28 + v_t) = 21(28^2 - v_t^2) \]

\[ 288 \cdot 28 - 288 v_t + 288 \cdot 28 + 288 v_t = 21(784 - v_t^2) \]

\[ 2 x 288 x 28 = 21(784 - v_t^2) \]

\[ 16128 = 21(784 - v_t^2) \]

\[ \frac{16128}{21} = 784 - v_t^2 \]

\[ 768 = 784 - v_t^2 \]

\[ v_t^2 = 784 - 768 \]

\[ v_t^2 = 16 \]

\[ v_t = 4 \text{ км/ч} \text{ (так как скорость течения положительна)} \]

Ответ: 4