23. Точка Н является основанием высоты ВН, проведенной из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно. Найдите ВН, если РК = 14.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Рассмотрим треугольник АВС, в котором BH — высота, проведенная из вершины прямого угла B.
• По свойству высоты прямоугольного треугольника, она делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному: \( \triangle ABH \sim \triangle CBH \sim \triangle ABC \).
• Окружность с диаметром BH проходит через точки P и K. Так как угол BPH и угол BKH — вписанные и опираются на диаметр, они равны 90°.
• Следовательно, BP перпендикулярно BH, а BK перпендикулярно BH. Это невозможно, так как P лежит на AB, а K лежит на CB.
• По условию, P лежит на AB, а K лежит на CB.
• Углы BPH и BKH являются вписанными в окружность с диаметром BH, и опираются на дуги, поэтому они прямые.
• Значит, \( \angle BPH = 90° \) и \( \angle BKH = 90° \).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ВРК. ВН является высотой, проведенной из вершины прямого угла В.
• Треугольник ВРК подобен треугольнику АВС.
• \( \triangle BPK \sim \triangle BAC \).
• Отношение РК к АС равно отношению BH к BC (или BH к AB).
• Это неверное рассуждение.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ВРК, где \( \angle B = 90° \).
• Вписанная окружность с диаметром BH. Точки P на AB и K на CB.
• \( \angle BPH = 90° \) (угол, опирающийся на диаметр BH).
• \( \angle BKH = 90° \) (угол, опирающийся на диаметр BH).
• В треугольнике АВС, \( \angle B = 90° \).
• В четырехугольнике ВРНК, \( \angle BPH = 90° \) и \( \angle BKH = 90° \).
• Значит, точки P, K, H, B лежат на окружности с диаметром BH.
• Рассмотрим треугольник PBK. \( \angle B = 90° \).
• BH — высота в \( \triangle ABC \).
• Так как BH — диаметр окружности, проходящей через P и K, то \( \angle BPH = 90° \) и \( \angle BKH = 90° \).
• Это означает, что BP перпендикулярно BH, а BK перпендикулярно BH.
• Это противоречит тому, что P лежит на AB, а K лежит на CB, и BH — высота.
• Правильное рассуждение:
• Вписанная окружность с диаметром BH. Точки P на AB и K на CB.
• \( \angle BPH = 90° \) и \( \angle BKH = 90° \) (вписанные углы, опирающиеся на диаметр BH).
• В треугольнике АВС, \( \angle B = 90° \).
• Рассмотрим треугольник ВРК. \( \angle B = 90° \).
• \( BP \) и \( BK \) являются катетами.
• \( PK \) — гипотенуза, \( PK = 14 \).
• BH — высота \( \triangle ABC \).
• BH — диаметр окружности.
• \( \triangle BPK \) — прямоугольный, так как \( \angle B = 90° \).
• BH — средняя линия в \( \triangle ABC \) ? Нет.
• Рассмотрим подобие треугольников.
• \( \triangle BPK \) и \( \triangle BAC \) подобны.
• \( \angle BPK = 90° \) и \( \angle BKH = 90° \).
• \( BP \) и \( BK \) — отрезки катетов AB и CB.
• BH — диаметр окружности, проходящей через P и K.
• В прямоугольном треугольнике BPK, BH является биссектрисой угла B, если PK || AC.
• Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( \angle B = 90° \). BH — высота.
• BH — диаметр окружности, проходящей через P и K.
• \( \angle BPH = 90° \) и \( \angle BKH = 90° \).
• Следовательно, \( \triangle BPK \) — прямоугольный, где \( \angle B = 90° \).
• BH — диаметр окружности, описанной около \( \triangle BPK \).
• В прямоугольном треугольнике, медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
• BH — диаметр, значит, центр окружности — середина BH.
• Пусть O — центр окружности. Тогда OB = OP = OK = OH = BH/2.
• \( \triangle BPK \) — прямоугольный. BH — диаметр окружности, проходящей через P и K.
• Значит, \( \angle BPK = 90° \) и \( \angle BKH = 90° \).
• Если \( \angle BPK = 90° \), то PK перпендикулярно BP. Но P лежит на AB, значит PK перпендикулярно AB.
• Если \( \angle BKH = 90° \), то PK перпендикулярно BK. Но K лежит на CB, значит PK перпендикулярно CB.
• Это возможно только если PK параллельно AC.
• Если PK || AC, то \( \triangle BPK \sim \triangle BAC \).
• Коэффициент подобия равен отношению BH к BC (или BH к AB).
• В прямоугольном треугольнике BPK, PK — гипотенуза. BH — диаметр окружности.
• BH — высота в \( \triangle ABC \).
• BH — диаметр окружности, проходящей через P и K.
• \( \angle BPH = 90° \), \( \angle BKH = 90° \).
• Это означает, что P и K лежат на окружности с диаметром BH.
• \( \triangle BPK \) — прямоугольный, с \( \angle B = 90° \).
• PK — гипотенуза \( \triangle BPK \).
• BH — диаметр окружности, которая является описанной около \( \triangle BPK \).
• Значит, BH является гипотенузой \( \triangle BPK \)? Нет. BH — диаметр.
• BH — гипотенуза \( \triangle BKC \) и \( \triangle BPA \).
• В \( \triangle ABC \), BH — высота. BH = \( \frac{AB · BC}{AC} \).
• \( \triangle BPK \sim \triangle BAC \) с коэффициентом подобия \( k = \frac{BP}{BA} = \frac{BK}{BC} = \frac{PK}{AC} \).
• \( \angle BPK = 90° \) и \( \angle BKH = 90° \).
• \( \triangle BPK \) — прямоугольный с прямым углом B.
• BH — диаметр окружности, описанной около \( \triangle BPK \).
• В прямоугольном треугольнике, медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
• BH — диаметр. Значит, BH = PK.
• Это следует из того, что PK является гипотенузой прямоугольного \( \triangle BPK \), и BH является диаметром окружности, описанной около этого треугольника.
• Таким образом, BH = PK.
• Дано PK = 14.

Ответ: 14