22. Известно, что графики функций y = -x² + p и y = -2x + 2 имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Приравниваем уравнения функций: \( -x² + p = -2x + 2 \).
• Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( -x² + 2x + p - 2 = 0 \).
• Чтобы уравнение имело ровно одно решение, дискриминант (D) должен быть равен нулю. \( D = b² - 4ac \).
• В данном уравнении: \( a = -1 \), \( b = 2 \), \( c = p - 2 \).
• \( D = 2² - 4(-1)(p - 2) = 4 + 4(p - 2) = 4 + 4p - 8 = 4p - 4 \).
• Приравниваем дискриминант к нулю: \( 4p - 4 = 0 \), откуда \( 4p = 4 \), следовательно, \( p = 1 \).
• Теперь подставляем \( p = 1 \) в квадратное уравнение: \( -x² + 2x + 1 - 2 = 0 \), что упрощается до \( -x² + 2x - 1 = 0 \).
• Умножим на -1: \( x² - 2x + 1 = 0 \).
• Это полный квадрат: \( (x - 1)² = 0 \), откуда \( x = 1 \).
• Находим координату y, подставив \( x = 1 \) в любое из исходных уравнений. Возьмем \( y = -2x + 2 \): \( y = -2(1) + 2 = -2 + 2 = 0 \).
• Таким образом, координаты общей точки: (1, 0).
• Построение графиков:
• График \( y = -x² + 1 \) — парабола, ветви направлены вниз, вершина в точке (0, 1).
• График \( y = -2x + 2 \) — прямая линия, проходящая через точки (0, 2) и (1, 0).
• Обе линии пересекаются в точке (1, 0).

Ответ: Координаты общей точки: (1, 0).