23. Тип 17 № 77381 Решите уравнение log₅(7-x) = log₅(3-x)+1.

Решение:

Решим уравнение \( \log_5(7-x) = \log_5(3-x)+1 \).

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):

\[ 7-x > 0 \implies x < 7 \]

\[ 3-x > 0 \implies x < 3 \]

Объединяя условия, получаем ОДЗ: \( x < 3 \).

Перепишем уравнение, представив 1 как \( \log_5 5 \):

\[ \log_5(7-x) = \log_5(3-x) + \log_5 5 \]

Используем свойство логарифма \( \log_b x + \log_b y = \log_b (xy) \):

\[ \log_5(7-x) = \log_5(5(3-x)) \]

\[ \log_5(7-x) = \log_5(15-5x) \]

Приравниваем выражения под логарифмом:

\[ 7-x = 15-5x \]

Перенесём члены с \( x \) в левую часть, а числа — в правую:

\[ 5x - x = 15 - 7 \]

\[ 4x = 8 \]

\[ x = \frac{8}{4} \]

\[ x = 2 \]

Проверяем, входит ли \( x=2 \) в ОДЗ (\( x < 3 \)). Да, входит.

Ответ: 2