23. ЕГЭ Найдите величину центрального угла, если он на 69° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть \( \alpha \) — вписанный угол, а \( \beta \) — центральный угол, опирающиеся на одну и ту же дугу.

По условию, \( \beta = \alpha + 69^{\circ} \).

Также известно, что центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу: \( \beta = 2\alpha \).

Подставим первое уравнение во второе:

\[ \alpha + 69^{\circ} = 2\alpha \]

\[ 69^{\circ} = 2\alpha - \alpha \]

\[ \alpha = 69^{\circ} \]

Найдем центральный угол:

\[ \beta = 2\alpha = 2 \cdot 69^{\circ} = 138^{\circ} \]

Ответ: 138