22. Постройте график функции y= (x4-5x²+4) / ((x-2)(x+1))

Логика решения:

Сначала упростим выражение для функции, разложив числитель на множители.

Разложение числителя:

Пусть $$u = x^2$$. Тогда $$u^2 - 5u + 4 = (u-1)(u-4) = (x^2-1)(x^2-4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$$.

Теперь подставим это в выражение для функции:

\[ y = \frac{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)} \]

Сокращаем одинаковые множители (при условии, что $$x
eq 2$$ и $$x
eq -1$$):

\[ y = (x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2 \]

Итак, график функции — это парабола $$y = x^2 + x - 2$$, но с выколотыми точками в $$x=2$$ и $$x=-1$$.

Находим координаты выколотых точек:

При $$x=2$$: $$y = 2^2 + 2 - 2 = 4$$. Точка (2, 4) выколота.

При $$x=-1$$: $$y = (-1)^2 + (-1) - 2 = 1 - 1 - 2 = -2$$. Точка (-1, -2) выколота.

Построение графика:

График функции — парабола $$y = x^2 + x - 2$$ с вершиной в точке $$x = -\frac{1}{2a} = -\frac{1}{2}$$.

Координата y вершины: $$y = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1 - 2 - 8}{4} = - \frac{9}{4} = -2.25$$.

Вершина параболы: (-0.5, -2.25).

График:

Нарисуйте параболу $$y = x^2 + x - 2$$ и отметьте выколотые точки (2, 4) и (-1, -2).

Ответ: График — парабола $$y = x^2 + x - 2$$ с выколотыми точками (2, 4) и (-1, -2).