22 Постройте график функции y = 7x-5 / 7x²-5x. Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Упростим выражение для функции:

\( y = \frac{7x-5}{7x^2-5x} = \frac{7x-5}{x(7x-5)} \)

При \( 7x-5 \neq 0 \) (то есть \( x \neq \frac{5}{7} \)), можно сократить дробь:

\( y = \frac{1}{x} \), при \( x \neq \frac{5}{7} \) и \( x \neq 0 \).

График функции — это гипербола \( y = \frac{1}{x} \) с выколотыми точками при \( x=0 \) и \( x=\frac{5}{7} \).

Найдем значение \( y \) при \( x = \frac{5}{7} \) для графика \( y = \frac{1}{x} \): \( y = \frac{1}{5/7} = \frac{7}{5} \). Значит, выколотая точка имеет координаты \( (\frac{5}{7}; \frac{7}{5}) \).

Теперь рассмотрим прямую \( y = kx \). Эта прямая проходит через начало координат \( (0;0) \).

Чтобы прямая \( y = kx \) имела ровно одну общую точку с графиком \( y = \frac{1}{x} \) (с учетом выколотых точек), возможны два случая:

1. Прямая касается гиперболы. Для \( y = \frac{1}{x} \) касательных, проходящих через начало координат, не существует.
2. Прямая проходит через одну из выколотых точек.

Случай 1: Прямая проходит через точку \( (0;0) \).

Прямая \( y = kx \) всегда проходит через \( (0;0) \). Однако, точка \( x=0 \) выколота из области определения исходной функции. Поэтому \( (0;0) \) не является точкой графика.

Случай 2: Прямая проходит через выколотую точку \( (\frac{5}{7}; \frac{7}{5}) \).

Подставим координаты этой точки в уравнение прямой \( y = kx \):

\( \frac{7}{5} = k \cdot \frac{5}{7} \)

Отсюда найдем \( k \):

\( k = \frac{7}{5} : \frac{5}{7} = \frac{7}{5} \cdot \frac{7}{5} = \frac{49}{25} \)

При \( k = \frac{49}{25} \) прямая \( y = \frac{49}{25} x \) будет проходить через выколотую точку \( (\frac{5}{7}; \frac{7}{5}) \). В этой точке прямая и гипербола \( y = \frac{1}{x} \) будут пересекаться. Так как эта точка выколота, то формально это будет единственная точка пересечения графика исходной функции и прямой.

Ответ: \( k = \frac{49}{25} \)