21 Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость баржи (км/ч).

Скорость баржи по течению: \( v + 5 \) км/ч.

Скорость баржи против течения: \( v - 5 \) км/ч.

Время, затраченное на путь по течению: \( t_1 = \frac{32}{v+5} \) ч.

Время, затраченное на путь против течения: \( t_2 = \frac{24}{v-5} \) ч.

Общее время в пути равно 4 часа:

\( t_1 + t_2 = 4 \)

\( \frac{32}{v+5} + \frac{24}{v-5} = 4 \)

Умножим обе части уравнения на \( (v+5)(v-5) \) для избавления от знаменателей (при условии \( v > 5 \), так как баржа движется против течения):

\( 32(v-5) + 24(v+5) = 4(v+5)(v-5) \)

\( 32v - 160 + 24v + 120 = 4(v^2 - 25) \)

\( 56v - 40 = 4v^2 - 100 \)

Перенесем все члены в правую часть:

\( 4v^2 - 56v - 100 + 40 = 0 \)

\( 4v^2 - 56v - 60 = 0 \)

Разделим на 4:

\( v^2 - 14v - 15 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-14)^2 - 4(1)(-15) = 196 + 60 = 256 \). \( \sqrt{D} = 16 \).

Корни:

\( v_1 = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)

\( v_2 = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, посторонний корень \( v_2 = -1 \).

Собственная скорость баржи \( v = 15 \) км/ч. Проверим условие \( v > 5 \): \( 15 > 5 \), условие выполняется.

Ответ: 15