21. Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Привет! Давай разберём эту задачку по шагам.

Что нам известно:

• Расстояние по течению: 32 км
• Расстояние против течения: 24 км
• Общее время в пути: 4 часа
• Скорость течения реки: 5 км/ч

Что нужно найти:

• Собственную скорость баржи

Решение:

1. Обозначим неизвестные:

   Пусть x — собственная скорость баржи (в км/ч).

2. Скорость по течению:

   Когда баржа плывёт по течению, скорость течения добавляется к её собственной скорости. Значит, скорость по течению равна (x + 5) км/ч.

3. Скорость против течения:

   Когда баржа плывёт против течения, скорость течения вычитается из её собственной скорости. Значит, скорость против течения равна (x - 5) км/ч.

4. Время в пути:

   Мы знаем, что время = расстояние / скорость.

   • Время движения по течению:

     \[ \frac{32}{x + 5} \]

     часа
   • Время движения против течения:

     \[ \frac{24}{x - 5} \]

     часа
5. Составим уравнение:

   Общее время в пути равно 4 часа. Поэтому:

   \[ \frac{32}{x + 5} + \frac{24}{x - 5} = 4 \]

6. Решим уравнение:

   Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на (x + 5)(x - 5):

   \[ 32(x - 5) + 24(x + 5) = 4(x + 5)(x - 5) \]

   Раскроем скобки:

   \[ 32x - 160 + 24x + 120 = 4(x^2 - 25) \]

   Приведём подобные слагаемые:

   \[ 56x - 40 = 4x^2 - 100 \]

   Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

   \[ 4x^2 - 56x - 60 = 0 \]

   Разделим всё на 4 для упрощения:

   \[ x^2 - 14x - 15 = 0 \]

   Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета:

   • Сумма корней = 14
   • Произведение корней = -15

   Подбираем числа: 15 и -1. Их сумма 14, а произведение -15. Но скорость не может быть отрицательной.

   Другой вариант подбора: -1 и 15. Но скорость не может быть отрицательной.

   Перепроверим. Если корни 15 и -1, то x = 15 или x = -1.

   Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 15.

7. Проверка:

   Скорость по течению: 15 + 5 = 20 км/ч. Время: 32 / 20 = 1.6 часа.

   Скорость против течения: 15 - 5 = 10 км/ч. Время: 24 / 10 = 2.4 часа.

   Общее время: 1.6 + 2.4 = 4 часа. Всё сходится!

Ответ: Собственная скорость баржи равна 15 км/ч.