21. Упростите выражение 7cos²a + tg a ctg a + 7sin² a.

Решение:

Для упрощения выражения \( 7\cos^2\alpha + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha + 7\sin^2\alpha \) воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.

1. Сначала сгруппируем члены с \( \cos^2\alpha \) и \( \sin^2\alpha \):

\( (7\cos^2\alpha + 7\sin^2\alpha) + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha \).

2. Вынесем общий множитель 7 из первой группы:

\( 7(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha \).

3. Применим основное тригонометрическое тождество: \( \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \).

\( 7(1) + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha = 7 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha \).

4. Вспомним определения тангенса и котангенса: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \) и \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \).
5. Перемножим их: \( \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \).
6. Если \( \sin\alpha \neq 0 \) и \( \cos\alpha \neq 0 \) (т.е. \( \alpha \neq \frac{\pi k}{2} \) для целого \( k \)), то дробь сокращается и равна 1.
7. Подставим это значение в выражение: \( 7 + 1 = 8 \).

Ответ: б) 8.