19. Найдите значение выражения (\(\sqrt{2}-1\))\(\sqrt{4+\sqrt{9-4\sqrt{2}}}\).

Решение:

1. Начнем с вычисления выражения под внутренним корнем: \( \sqrt{9-4\sqrt{2}} \).
2. Попробуем представить \( 9-4\sqrt{2} \) как квадрат разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).
3. Сравним \( 4\sqrt{2} \) с \( 2ab \). \( 2ab = 4\sqrt{2} \Rightarrow ab = 2\sqrt{2} \).
4. Если \( a=2 \) и \( b=\sqrt{2} \), то \( a^2 = 4 \) и \( b^2 = 2 \).
5. Тогда \( a^2 + b^2 = 4 + 2 = 6 \). Это не равно 9.
6. Попробуем иначе. Пусть \( \sqrt{9-4\sqrt{2}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \). Тогда \( 9-4\sqrt{2} = (a+b) - 2\sqrt{ab} \).
7. Сравнивая, имеем \( a+b = 9 \) и \( 2\sqrt{ab} = 4\sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{ab} = 2\sqrt{2} \Rightarrow ab = (2\sqrt{2})^2 = 8 \).
8. Найдём \( a \) и \( b \) из системы: \( a+b=9, ab=8 \). Корни уравнения \( t^2 - 9t + 8 = 0 \) — это \( t=1 \) и \( t=8 \).
9. Пусть \( a=8, b=1 \). Тогда \( \sqrt{9-4\sqrt{2}} = \sqrt{8} - \sqrt{1} = 2\sqrt{2} - 1 \).
10. Теперь подставим это в исходное выражение: \( (\sqrt{2}-1)\sqrt{4+(2\sqrt{2}-1)} \).
11. Упростим выражение под корнем: \( 4 + 2\sqrt{2} - 1 = 3 + 2\sqrt{2} \).
12. Теперь нужно найти \( \sqrt{3+2\sqrt{2}} \).
13. Представим \( 3+2\sqrt{2} \) как \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).
14. Здесь \( 2ab = 2\sqrt{2} \Rightarrow ab = \sqrt{2} \).
15. Если \( a=\sqrt{2} \) и \( b=1 \), то \( a^2 = 2 \) и \( b^2 = 1 \).
16. Тогда \( a^2 + b^2 = 2 + 1 = 3 \). Это совпадает.
17. Значит, \( \sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1 \).
18. Теперь умножим: \( (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) \).
19. Это разность квадратов: \( (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1 \).

Ответ: а) 1.