2. Решите уравнение: \(\frac{2x+3}{x^2-2x} - \frac{x-3}{x^2+2x} = 0\)

Решение:

Приведём уравнение к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители:

\(x^2 - 2x = x(x-2)\)

\(x^2 + 2x = x(x+2)\)

Общий знаменатель: \(x(x-2)(x+2)\).

Умножим числители на соответствующие множители:

\[ \frac{(2x+3)(x+2)}{x(x-2)(x+2)} - \frac{(x-3)(x-2)}{x(x-2)(x+2)} = 0 \]\[ (2x+3)(x+2) - (x-3)(x-2) = 0 \]\[ (2x^2 + 4x + 3x + 6) - (x^2 - 2x - 3x + 6) = 0 \]\[ (2x^2 + 7x + 6) - (x^2 - 5x + 6) = 0 \]\[ 2x^2 + 7x + 6 - x^2 + 5x - 6 = 0 \]\[ x^2 + 12x = 0 \]

Вынесем \(x\) за скобки:

\(x(x+12) = 0\)

Получаем два корня: \(x_1 = 0\) и \(x_2 = -12\).

Проверим ОДЗ: \(x \neq 0\), \(x \neq 2\), \(x \neq -2\). Корень \(x_1 = 0\) не подходит.

Ответ: x = -12.