2. Решите уравнение: 6(x+1/x)+4(x^2+1/x^2)=20.

Решение:

Дано уравнение: \( 6(x+\frac{1}{x}) + 4(x^2+\frac{1}{x^2}) = 20 \)

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = x + \frac{1}{x} \). Тогда \( y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \). Отсюда \( x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2 \).

Подставим замену в исходное уравнение:

\( 6y + 4(y^2 - 2) = 20 \)

\( 6y + 4y^2 - 8 = 20 \)

\( 4y^2 + 6y - 28 = 0 \)

Разделим все члены на 2:

\( 2y^2 + 3y - 14 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{121} = 11 \)

Найдем значения \( y \):

\( y_1 = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \)

\( y_2 = \frac{-3 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} \)

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \).

Случай 1: \( y = 2 \)

\( x + \frac{1}{x} = 2 \)

Умножим обе части на \( x \) (предполагая \( x \neq 0 \)):

\( x^2 + 1 = 2x \)

\( x^2 - 2x + 1 = 0 \)

Это полный квадрат:

\( (x - 1)^2 = 0 \)

\( x = 1 \)

Случай 2: \( y = -\frac{7}{2} \)

\( x + \frac{1}{x} = -\frac{7}{2} \)

Умножим обе части на \( 2x \) (предполагая \( x \neq 0 \)):

\( 2x^2 + 2 = -7x \)

\( 2x^2 + 7x + 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( x \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 49 - 16 = 33 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{33} \)

Найдем значения \( x \):

\( x_1 = \frac{-7 + \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + \sqrt{33}}{4} \)

\( x_2 = \frac{-7 - \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - \sqrt{33}}{4} \)

Ответ: x = 1, x = $$\frac{-7 + \sqrt{33}}{4}$$, x = $$\frac{-7 - \sqrt{33}}{4}$$.