2. На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и N. Известно, что ∠NBA = 5°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как \( AB \) — диаметр окружности, то \( ∠ ANB = 90^\circ \) (угол, опирающийся на диаметр). В прямоугольном \( △ ANB \) \( ∠ NAB = 90^\circ - ∠ NBA = 90^\circ - 5^\circ = 85^\circ \).

Аналогично, \( ∠ AMB = 90^\circ \) (угол, опирающийся на диаметр).

Углы \( ∠ ANB \) и \( ∠ AMB \) опираются на одну дугу \( AB \), но точки \( M \) и \( N \) лежат по разные стороны от \( AB \).

Рассмотрим треугольник \( △ MNB \). Нам нужно найти \( ∠ NMB \).

Угол \( ∠ ANM \) опирается на дугу \( AM \). Угол \( ∠ ABM \) также опирается на дугу \( AM \). Следовательно, \( ∠ ANM = ∠ ABM \).

Угол \( ∠ BNA = 90^\circ \).

Угол \( ∠ NBA = 5^\circ \).

В \( △ NMB \) нам нужно найти \( ∠ NMB \).

Заметим, что \( ∠ NMB = ∠ NMA + ∠ AMB \). Это не совсем так, так как \( N, A, M \) лежат на окружности.

Рассмотрим вписанные углы. \( ∠ NMB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( NB \).

Угол \( ∠ NAB \) также опирается на дугу \( NB \). Поэтому \( ∠ NMB = ∠ NAB \).

Мы нашли, что \( ∠ NAB = 85^\circ \).

Ответ: 85.