2. Хорды АВ и СД пересекаются в точке К, причем хорда АВ делится точкой К на отрезки, равные 10 см и 6 см. На какие отрезки точка К делит хорду СД, если СД > АВ на 3 см?

Решение:

1. Длина хорды AB равна сумме ее отрезков: \( AB = 10 + 6 = 16 \) см.
2. Длина хорды CD на 3 см больше длины хорды AB: \( CD = AB + 3 = 16 + 3 = 19 \) см.
3. По теореме о пересекающихся хордах (произведения отрезков пересекающихся хорд равны): \( AK \cdot KB = CK \cdot KD \)
4. Подставим известные значения: \( 10 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = CK \cdot KD \) \( 60 = CK \cdot KD \)
5. Пусть отрезок CK равен \( x \) см. Тогда отрезок KD равен \( CD - x = 19 - x \) см.
6. Составим уравнение: \( x(19 - x) = 60 \)
7. Решим уравнение: \( 19x - x^2 = 60 \) \( x^2 - 19x + 60 = 0 \)
8. Найдем дискриминант: \( D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 361 - 240 = 121 \)
9. Найдем корни уравнения: \[ x_1 = \frac{19 + \sqrt{121}}{2} = \frac{19 + 11}{2} = \frac{30}{2} = 15 \] \[ x_2 = \frac{19 - \sqrt{121}}{2} = \frac{19 - 11}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
10. Таким образом, точка К делит хорду CD на отрезки длиной 15 см и 4 см.

Ответ: 15 см и 4 см.