1. Точки А, В, С лежат на окружности с центром О. ∠AOB = 80°, AC : BC = 2 : 3. Найдите углы треугольника АВС.

Решение:

1. Угол \( \angle AOB \) — центральный, поэтому градусная мера дуги AB равна \( 80^{\circ} \).
2. Отношение дуг AC и BC равно 2 : 3. Пусть градусная мера дуги AC равна \( 2x \), а дуги BC — \( 3x \).
3. Сумма дуг AC, BC и AB составляет полную окружность, то есть \( 360^{\circ} \).
4. Составим уравнение: \( 2x + 3x + 80^{\circ} = 360^{\circ} \)
5. Решим уравнение: \( 5x = 360^{\circ} - 80^{\circ} \) \( 5x = 280^{\circ} \) \( x = 56^{\circ} \)
6. Найдем градусные меры дуг: Дуга AC = \( 2x = 2 \cdot 56^{\circ} = 112^{\circ} \). Дуга BC = \( 3x = 3 \cdot 56^{\circ} = 168^{\circ} \).
7. Углы треугольника ABC являются вписанными. Найдем их, разделив градусные меры противолежащих дуг на 2:
• \( \angle ACB = \frac{1}{2} \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ} \)
• \( \angle CBA = \frac{1}{2} \text{дуга } AC = \frac{1}{2} \cdot 112^{\circ} = 56^{\circ} \)
• \( \angle BAC = \frac{1}{2} \text{дуга } BC = \frac{1}{2} \cdot 168^{\circ} = 84^{\circ} \)
8. Проверка: \( 40^{\circ} + 56^{\circ} + 84^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: \( \(\angle\) ACB = 40^{\(\circ\)}, \(\angle\) CBA = 56^{\(\circ\)}, \(\angle\) BAC = 84^{\(\circ\)}.