2. Дан параллелограмм ABCD, на сторонах выбраны точки M, N, P, Q таким образом, что каждая из них лежит в середине соответствующей стороны. Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом.

Решение:

В параллелограмме ABCD:

• M — середина AB
• N — середина BC
• P — середина CD
• Q — середина DA

Рассмотрим треугольник ABC. MN — средняя линия, так как соединяет середины сторон AB и BC. По свойству средней линии, \( MN \parallel AC \) и \( MN = \frac{1}{2} AC \).

Рассмотрим треугольник ADC. QP — средняя линия, так как соединяет середины сторон AD и CD. По свойству средней линии, \( QP \parallel AC \) и \( QP = \frac{1}{2} AC \).

Так как \( MN \parallel AC \) и \( QP \parallel AC \), то \( MN \parallel QP \).

Так как \( MN = \frac{1}{2} AC \) и \( QP = \frac{1}{2} AC \), то \( MN = QP \).

Четырёхугольник MNPQ имеет две противоположные стороны MN и QP, которые параллельны и равны. Следовательно, MNPQ — параллелограмм.

Доказано.