18. Диагональ прямоугольника образует угол 64° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Задание 18. Углы в прямоугольнике

Дано:

• Прямоугольник.
• Диагональ образует угол 64° с одной из сторон.

Найти: острый угол между диагоналями.

Решение:

1. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \).
2. Пусть диагональ \( AC \) образует угол 64° со стороной \( AB \). Тогда \( \angle BAC = 64° \).
3. В прямоугольном \( \triangle ABC \) сумма острых углов равна 90°. Значит, \( \angle BCA = 90° - 64° = 26° \).
4. Рассмотрим \( \triangle ABO \). \( AO = BO \) (половины равных диагоналей), значит, \( \triangle ABO \) — равнобедренный.
5. Угол \( \angle OAB = \angle BAC = 64° \).
6. В равнобедренном \( \triangle ABO \) углы при основании равны: \( \angle OBA = \angle OAB = 64° \).
7. Сумма углов в \( \triangle ABO \) равна 180°. Угол \( \angle AOB = 180° - (\angle OAB + \angle OBA) = 180° - (64° + 64°) = 180° - 128° = 52° \).
8. \( \angle AOB \) — один из углов между диагоналями.
9. Другой угол между диагоналями — смежный с \( \angle AOB \), равный \( 180° - 52° = 128° \).
10. Острый угол между диагоналями — это меньший из двух углов, то есть 52°.

Ответ: 52